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1. Verallgemeinerung der Wellengleichung

In Teil I, (s. Gl. (26)) erhielten wir für ein Teilchen der Masse m, das sich ohne potenzielle Energie (es gilt überall V=0, die Energie des Teilchens ist unabhängig von seiner Position) entlang der x-Achse bewegt, die Schrödinger-Gleichung:

(1)

Ausgangspunkt für diese Gleichung war die aus der klassischen Wellenlehre hergeleitete Wellengleichung yEkin (s. Teil I, Gl. (13)), die wir hier nochmals aufschreiben, um sie weiter zu untersuchen bzw. weiter zu abstrahieren.

(2)

Zur Ermittlung der vg. Schrödinger-Gleichung wurde der zeitabhängige Teil nicht betrachtet (t=0), um den Einstieg in die QM möglichst verständlich zu lassen. Die zeitabhängige Erweiterung ist erst nach Schaffung der grundlegenden quantenmechanischen Konzepte sinnvoll. Mit t=0 vereinfacht sich Gl. (2) zu

(3)

In Teil I hat sich herausgestellt, dass dieser Ausdruck mit den dort aufgeführten physikalischen Experimenten im Einklang steht und einem auf kinetische Energie Ekin präparierten Ensemble von Elektronen zugeordneten Wellenfunktion eines freien Elektrons entspricht. Wir setzen nun , (i steht für „Wurzel aus Minus Eins“) und . Es ergibt sich dann als Wellenfunktion die bekannte Euler’sche Formel:

(4)

 

Leonhard Euler, 1707 - 1783

 

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass .


Aufgrund dieser Modifikationen können wir nicht mehr sicher sein, ob dieser Ausdruck immer noch die Wellenfunktion eines freien Elektrons ist. Daher wollen wir dieses zunächst überprüfen.

Nach Gl. (1) ist die 2.Ableitung der Wellenfunktion zu bilden und gleich dem Produkt aus dem Zahlenwert der kinetischen Energie und der Wellenfunktion zu setzen. Hierzu rechnen wir sowohl mit der Sinus-, Kosinus-Funktion als auch mit der Exponentialfunktion. Die erste Ableitung nach x ergibt sich zu:

(5)

Die zweite Ableitung nach x lautet:

(6)

Da das Minuszeichen „–1“ bedeutet und dies gleich i2 ist, wird der Ausdruck „i2k2eikx„ ebenfalls zu –k2y, was zeigt, dass die Euler’sche Formel (Gl. (4)) tatsächlich zutrifft. Das elegante an dieser Exponentialfunktion ist aber, dass sie sich nach jeder Differentiation wieder, bis auf konstante Vorfaktoren, reproduziert. Nun setzen wir diesen Ausdruck in Gl. (1) ein und erhalten

(7)

Da y(x) sich herauskürzt und die beiden Minuszeichen sich aufheben, ergibt sich der Ausdruck . Mit k=2p/l ergibt sich h2/(2ml2)=p2/2m, was uns in Teil I (s. Gl. (15a)) bereits begegnet ist. Damit können wir feststellen, dass die von uns in Gl. (4) als Wellenfunktion gewählte Euler’sche Formel ebenfalls der Wellenfunktion eines freien Elektrons entspricht. Damit haben wir gezeigt, dass die Exponentialfunktion der aus der klassischen Wellenlehre hergeleiteten Grundgleichung (s. Teil I, Gl. (13)) adäquat ist. Somit ergibt sich aus Gl. (7) der Zusammenhang zwischen der Konstanten k und dem Impuls p des Teilchens zu

(8)

Dieser Ausdruck ist uns in Teil I (s. Gl. (15)) bereits begegnet, womit die Richtigkeit des mathematischen Ansatzes der Gl. (4) bewiesen ist. Daher wollen wir mit der rechten Seite der Wellengleichung Gl. (4) weiterrechnen (eikx) und diese wie folgt verallgemeinern:

(9)

Wieder prüfen wir, ob die Funktion noch für ein freies Elektron gilt. Die erste Ableitung nach x ergibt:

(10)

Für die zweite Ableitung nach x ergibt sich ng. Gl. (11):

(11)

Wie wir sehen, ergab sich dieser Ausdruck bereits mit Gl. (6), womit auch die Form der Gl. (9) der Wellenfunktion eines freien Elektrons zugeordnet werden kann. Die Einführung des Faktors „i2=-1“ hat sich somit als „unschädlich“ erwiesen aber die damit verbundene Einführung der Exponentialfunktion (e) wird sich noch als eine sehr nützliche Beziehung herausstellen.

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