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7. Formel für die Sommerfeld’ sche Feinstrukturkonstante

Die Feinstrukturkonstante () durchzieht die gesamte Elementarteilchen-Physik. Sie ist u. a maßgebend für die Massenverhältnisse der Elementarteilchen, z. B. von Elektron zu Proton gemäß bzw. Elektron zu Pion gemäß . Ihr Messwert beträgt [Quelle: National Institute of Standards and Technologie, NIST, siehe http://physics.nist.gov, [2] nennt ]. Der in Klammern angegebene Wert bedeutet die Messunsicherheit (±50) und bezieht sich auf die beiden letzten Ziffern, wobei die Wahrscheinlichkeit 68% beträgt, dass der tatsächliche Wert innerhalb dieser Grenzen liegt.

 

Im folgenden wird versucht, eine Formel für die Feinstrukturkonstante herzuleiten. Die Herleitung basiert auf folgenden beiden Annahmen:

· Die vom Elektron zum Umrunden der Grundbahn des Wasserstoffatoms benötigte Umlaufdauer (T) ist in kleinste Zeiteinheiten, sog. Elementardauern (), gequantelt (1t=4,408282·10-24s, Quelle: [2]).

· Die Umlaufdauer T und der Kehrwert der Rydberg-Frequenz (R) beschreiben das gleiche Phänomen. Es kann daher eine Strukturformel für a angegeben werden, die mit dem Messwert für R (3,289841368(25)·1015 1/s, Quelle: NIST) exakt übereinstimmt.

Die erste Annahme, dass die Elementardauer den Charakter einer ununterteilbaren Elementargröße hat, zeigt sich in vielfältiger Weise.

a) Ein mit Invarianz-Geschwindigkeit (das ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c=299.792.458 m/s, Quelle: NIST) sich bewegendes Elektron erzeugt je Elementardauer () mit der seiner statischen Elektronmasse (mes, 9,078777·10-31kg, Quelle: [2]) zukommenden Energie () die Elektronwirkung . Da ist, ergibt sich

.

Dieser Ausdruck zeigt, dass eine mit c bewegte statische Elektronmasse (mes) je (Elementarlänge, 1l=1,321570·10-18 m, Quelle [2]) Laufstrecke die Elektronwirkung 1hs = 3,59698·10-37kgm²/s (Quelle: [2]) erzeugt. Da das Elektron zum Durchlaufen der Strecke mit c- Geschwindigkeit die Dauer benötigt, bedeutet dies, dass dieses Wirkungsquantum mit jeder Elementardauer () neu erzeugt wird. Diese Elektron- Wirkungserzeugung ist für das Phänomen der elektrischen Ladungskraft (Coulomb- Kraft) von fundamentaler Bedeutung.

b) Ein Proton erzeugt wegen der im Vergleich zum Elektron um den Faktor höheren statischen Masse (m) des Protons eine entsprechend höhere Wirkung.

Hierbei ist h das Plank’ sche Wirkungsquantum mit 6,62606876(52)·10-27 Js (Quelle: NIST). Der Ausdruck zeigt die zwischen Elektron und Proton herrschenden Größenverhältnisse. Eine mit c bewegte statische Protonmasse (m) erzeugt je Laufstrecke die Elementar- Wirkung 1h. Auch dieses Wirkungsquantum wird, analog zum Elektron, mit jeder Elementardauer () neu erzeugt. Die Proton- Wirkungserzeugung ist für das Phänomen der materiellen Schwerkraft (Gravitation) von fundamentaler Bedeutung.

c) Bei Umlauf des Elektrons in der Atomhülle des Wasserstoffatoms mit Bahngeschwindigkeit (v) anstelle (c) reduziert sich die vg. Elektron- Wirkungserzeugung (hs) um den Abschwächungsfaktor . Wegen des Elektronumlaufs auf Bahnradius (r) ergibt sich eine Laufstrecke von , so dass sich die Wirkungserzeugung (hs) um den Verstärkungsfaktor erhöht. Da in der Atomhülle des Wasserstoffatoms die Wirkungserzeugung mit der Ruhemasse (Totalmasse) (me) des Elektrons erfolgt (Messwert: 9,10938188(72)·10-31 kg, Quelle [NIST, [2] nennt 9,109532·10-31 kg ±,5,1 ppm]) erhöht sich die Wirkungserzeugung (hs) entsprechend, da hs sich über die statischen Elektronmasse (mes) ergab. Mit me=mes+mem und (Elektron- Magnetfeldmasse), ist . Zu beachten ist, dass mes sich aus der statischen Protonmasse (m) über den Zusammenhang ergibt. Da jedoch der exakte Zahlenwert für a sich aus dem noch zu suchenden Zusammenhang erst ergibt, liegt an dieser Stelle die genaue Größe der statischen Elektronmasse (mes) noch nicht vor. Dies bedeutet, dass sich nicht nur der Rechenwert für mem ändert, wenn a sich ändert, sondern auch der Rechenwert für mes. Beide Änderungen gehen in den Rechenwert für me ein. Mit 1/a=137,036 ergibt sich mes zu 9,078777·10-31kg (s. o.), womit me=9,109742·10-31kg (+39,5 ppm bzw. 0,00004%) gilt. Damit liegt eine sehr gute Übereinstimmung vor, die vg. strukturellen Ansatz für die Magnetfeldmasse rechtfertigt. Der Vorteil dieses Ansatzes liegt darin, dass sie dazu beiträgt, die bisher üblichen Formelausdrücke zu vereinfachen. Es wird daher als weiterer Verstärkungsfaktor angesetzt.

Zudem ist zu beachten, dass die Atomhülle den Charakter einer Entstehungsschale (0.Schale) aufweist (ansonsten wäre die Aufsummierung der Elektronwirkung zur Bahnwirkung nicht möglich). Diese vor der 1.Schale liegende 0.Schale bringt das Phänomen –hier die Bahnwirkung- überhaupt erst ins Dasein. Dieser Schale kommt mit der von 0t bis 1t gerade erst entstehenden Zeit (auch die Zeit in Gestalt einer Elementardauer muss erst entstehen) nur die Dauer ½t zu. Demnach ist auch die Wirkung in der 0.Schale, d. h. in sich selbst, nur mes·½t bzw. nur ½hs (dies ist die halbe Elektronwirkung). Demnach erzeugt das Elektron mit seiner statischen Masse (mes) pro Umlauf in der Atomhülle die Bahnwirkung gemäß

Dieser einfache Zusammenhang ist Grundlage für die Erzeugung von Bahnwirkung auf der Grundbahn des Wasserstoffatoms. Der rechte Teil der Gleichung wurde erstmals von Nils Bohr erkannt (1913), wobei Bohr den Beifaktor ½ nicht ausweist. Der Ausdruck zeigt die Besonderheit der Bahnwirkung der Atomhülle. Hier summieren sich die einzelnen Wirkungsquanten des Elektrons (½hs) während des Bahnumlaufs auf, bevor sie als Bahnwirkung (½h) ins Dasein (d. h. in Erscheinung) treten.

Die zweite Annahme, dass die Umlaufdauer T und der Kehrwert der Rydberg- Frequenz (R) das gleiche Phänomen beschreiben zeigt der folgende Rechengang. Dabei wird die Umlaufdauer (T) des Elektrons auf der Grundbahn des Wasserstoffatoms über den von Nils Bohr gefundenen und heute noch üblichen Rechengang bestimmt. Zugleich werden die den Größen me, h und e0 zugrundeliegenden elementaren Strukturen berücksichtigt. Es ergeben sich anschaulich einfache Ausdrücke bei sehr guter Übereinstimmung mit den Messwerten.

Die „Fliehkraft“ (F) der auf Radius (r) der Grundbahn mit Bahngeschwindigkeit (v) „wie kreisend erscheinenden“ Ruhemasse (Totalmasse) des Elektrons gemäß steht mit der zwischen Proton (Atomkern) und Elektron (Atomhülle) herrschenden elektrischen Anziehungskraft in jedem Moment der Zeit im Gleichgewicht (ansonsten wäre das Wasserstoffatom instabil). Hieraus ergibt sich .

Bohr rechnete seinerzeit für die Anziehungskraft mit dem Ausdruck . Dies führt jedoch zu Ausdrücken, die kaum Rückschlüsse auf die elementare Struktur ermöglichen. Wird in diese Formel anstelle die Strukturformel eingesetzt, so ergibt sich (bei gleicher Genauigkeit!) der vg. anschaulichere Ausdruck für die elektrische Anziehungskraft.

Zugleich wird je Umlauf die „wie ein mechanischer Drehimpuls erscheinende“ Bahnwirkung erzeugt (1. Bohr’ sche Postulat, Bahnquantenbedingung, der Faktor ½ ist hier herausgekürzt). Über das Größenverhältnis bzw. ergibt sich .

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für r ergibt sich die Bahngeschwindigkeit zu und damit der Radius der Grundbahn (r), der zu Ehren von Nils Bohr’s auch als Bohr’ scher Radius bezeichnet wird, zu . Mit 1/a=137,036 ist r=5,309697·10-11 m (Messwert: 5,291772083(10) ·10-11 m, Quelle: NIST). Mit 1/a=137,037592 würde sich exakt der Messwert ergeben.

Bohr verwandte seinerzeit die Schreibweise und .

Damit kann die Umlaufdauer T berechnet werden. Für einen Umlauf auf der Grundbahn (r) benötigt das Elektron die Umlaufdauer . Mit vg. Ausdrücken für r und v sowie mit ergibt sich

.

Zwar ist in der Atomhülle aufgrund der dort herrschenden besonderen Entstehungsbedingungen nur eine Dauer von für die Wirkungserzeugung maßgebend, also hälftige Elementardauer, dennoch beträgt die Dauer zur Erzeugung von Elektron- Wirkung (½hs) stets . Daher ist Bezug auf ganze Elementardauern () zunehmen. Es liefert also der Ausdruck einen ganzzahligen Wert (Z). Mit vg. Literaturwert für ergibt sich . Somit ist

.

Dieser Ausdruck zeigt bereits das Wesen der Feinstrukturkonstanten. So wie die Größen (Kreiskonstante) und (Feldkonstante), deren absoluter Wert nicht exakt bestimmbar ist, da sie unendlich viele Kommastellen enthalten, muss auch die Feinstrukturkonstante unendlich viele Kommastellen enthalten. Der Zahlenwert der Feinstrukturkonstanten ist jedoch gerade so bestimmt, dass sich der ganzzahlige Wert für die Anzahl der Elementardauern () der Umlaufdauer (T) ergibt!

Vg. Formel [5] liefert bei der gegebenen geringen Messunsicherheit (z) von -0,35·t bis -0,43·t mit einer Zuverlässigkeit von 68% den richtigen Zahlenwert. Höhere Zuverlässigkeiten ergeben sich, wenn größere Toleranzbänder für die Messunsicherheit (z) zugelassen werden.

Für verschiedene Schrittweiten z entsprechend ergibt sich folgende Ergebnistabelle:

+812

137,037073

+2

137,036001

+1

137,035999

0

137,035998

-1

137,035998

-2

137,035996

-811

137,034922

Die Tabellenwerte basieren auf der Umlaufdauer des Elektrons um die Grundbahn des Wasserstoffatoms. Mit der heute vorliegenden Messgenauigkeit für a bei z=0 ergibt sich für die Feinstrukturkonstante der Zahlenwert a=1/137,035998. Dieser Wert stimmt mit dem Messwert für a exakt überein.

Es ist nun zu fragen, ob dieser Wert auch im Einklang mit dem Messwert der Rydberg- Frequenz (R) steht. Es ist leicht einzusehen, dass obiger Zusammenhang für die Feinstrukturkonstante (s. Formel [5]) mit dem aus den Bohr’schen Formeln für v und r sich ergebenden Ausdruck für die Rydberg- Frequenz gemäß kaum erkennbar ist. Jedoch ergibt sich durch Einsetzen der vg. Strukturformeln für me, h und in diese Formel der Ausdruck . Entsprechend Formel [4] ist

Dieser Ausdruck zeigt den theoretischen Zusammenhang zwischen Feinstrukturkonstanten a und Rydberg- Konstanten R als Funktion a(R). Die in der Formel enthaltenen Faktoren (runde Klammern) resultieren aus den vg. begründeten physikalischen Ursachen.

Damit ist es möglich, den Zahlenwert (Z) über die ±0,025·10-3 ppm genaue Rydberg- Frequenz (R) zu bestimmen. Mit dem einfachen Zusammenhang ergibt sich Z=34.476.693. Damit liegt dieser Zahlenwert um z=+812 höher als der über den Messwert für a gemäß Formel [5] ermittelte Wert. Die Abweichung beträgt +23,5 ppm. Es ergibt sich für die Feinstrukturkonstante der Zahlenwert a=1/137,037073. Dieser Wert weicht um –7,8 ppm vom Eingangs genannten Messwert für a ab, jedoch wird R exakt eingestellt.

Damit die vg. Strukturformel für die Totalmasse (me) des Elektrons den gleichen Wert liefert wie der Messwert für me, müsste a=1/137,041394 eingesetzt werden. Dieser Wert weicht um –39,4 ppm vom Eingangs genannten Messwert für a ab, jedoch wird me exakt eingestellt. Zwar würde sich durch die Einführung des Feinkorrekturfaktors für die Elektron- Magnetfeldmasse diese zu ergeben und für die Feinstrukturkonstante a=1/137,039810, damit die Strukturformel für die Totalmasse (me) des Elektrons den gleichen Wert liefert wie der Messwert für me, womit nur noch eine Abweichung von –27,8 ppm zum Eingangs genannten Messwert für a bestünde. Jedoch würde sich mit dieser Feinkorrektur aber ergeben und damit für die Feinstrukturkonstante der Wert a=1/136,881094, um den Messwert für R einzustellen. Dadurch würde die Abweichung zum Eingangs genannten Messwert für a von
–7,8 ppm auf +1.132 ppm sich drastisch erhöhen, weshalb diese Feinkorrektur nicht anwendbar ist bzw. lässt sich damit die Unschärfe der Feinstrukturkonstanten nicht beseitigen.

Wie bereits erwähnt, stellt sich mit a=1/137,037592 exakt der Messwert des ±0,01 ppm genauen Bohr’schen Radius r ein. Die Abweichung zum Eingangs genannten Messwert für a ist ebenfalls sehr gering und bestätigt die hier getroffenen Ansätze für r. Sie beträgt nur –11,6 ppm.

Die aus dem Vergleich der Messwerte für a und R sich ergebende Unschärfe ist extrem klein. Sie beträgt bei den heute gegebenen Ungenauigkeiten der Messwerte für a und R nur –7,8 ppm bzw. 3,580992·10-21s. Das ist der billionste Teil einer milliardstel Sekunde. Dies ist offensichtlich Ausdruck der prinzipiellen Unschärfe der Feinstrukturkonstanten, denn auch eine Verringerung der Ungenauigkeit der Messwerte für R und a hat auf die Unschärfe keinen Einfluss mehr, da sich die Veränderung bereits innerhalb einer Elementardauer bewegt! Anscheinend repräsentiert die Unschärfe der Feinstrukturkonstanten die im Elementarbereich herrschenden Spielräume. Es gilt daher, die Grenzen dieser Spielräume zu ermitteln und die physikalischen Ursachen hierfür zu erforschen. Das hier vorgelegte Ergebnis zeigt eine sehr gute Übereinstimmung mit den Messwerten. Es kann daher angenommen werden, dass vg. Formeln [5] und [6] für die Feinstrukturkonstante die Realität spiegeln.

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